En la vida diaria vemos cuerpos aislados: los árboles que crecen en los bosques, las piedras amontonadas en las orillas de los ríos, estrellas que cubren la esfera celeste, entre muchas otras cosas. Es decir, a la vista del hombre, todo parece discreto y discontinuo.
Muy difícilmente logramos integrar todo en un solo conjunto; nos cuesta mucho trabajo formar objetos de la naturaleza y del universo en un todo íntegro.
Pero si reflexionamos un poco más, nos daremos cuenta de que la naturaleza y el universo son continuos. Los árboles y las piedras forman parte de un todo íntegro, los seres vivos están compuestos de células y todo lo que nos rodea se compone de átomos.
Hoy el estudiante no puede continuar sus estudios superiores sin pasar por los números reales, pues estos son la base para comprender el análisis matemático y otras ramas de las matemáticas.
Las células existentes en el cuerpo humano están sistemáticamente constituidas para dar vida al ser humano. De tal manera que, si una de ellas se contamina, se enferma o muere y deja de responder, el organismo completo deja también de responder.
Esta experiencia y otras muchas ayudaron a que el ser humano entendiera que el número no puede ser discreto para siempre, que no podían existir solamente el conjunto de los números naturales, el conjunto de los números enteros o el conjunto de los números racionales.
Era necesario buscar otro conjunto que completara a los números mencionados para demostrar la continuidad de una recta o una curva. Así fue como el hombre, en su práctica diaria, encontró y creó otro conjunto de números, a los que llamó “irracionales”.
Ahora ambos términos, racional e irracional, los usamos con tanta naturalidad que no nos detenemos a pensar en su significado y su origen.
Detengámonos un momento en su origen y significado. Desde la antigüedad, el hombre comenzó a expresar la longitud de un segmento de una recta a través de fracciones, es decir, a través de magnitudes medibles o conmensurables.
Pero pronto se dio cuenta de la existencia de segmentos que eran inconmensurables (es decir, segmentos no medibles). Uno de esos hombres fue el filósofo y matemático Pitágoras de Samos, quien planteó magníficamente la relación existente entre la música y las matemáticas y su papel en el cultivo del saber.
Este genio de la antigua Grecia descubrió la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado de lado uno, cuya longitud es igual a la raíz cuadrada de 2, equivalente a 1.414213…, un número irracional ubicado entre 1 y 13/9.
Hoy, este resultado es fácil de encontrar usando el famoso teorema de Pitágoras, pero en aquellos tiempos provocó una crisis entre la geometría y la aritmética, dado que la aritmética de aquella época consistía solamente en la teoría de la proporcionalidad, y ésta era aplicada solamente a magnitudes conmensurables.
Así nacieron los primeros números irracionales, que ahora completan a los números racionales para formar los números reales, conjunto de números que aprendimos de niños con los saltos de ranitas y sapitos.
El otro número, quizás más antiguo que el descubierto por Pitágoras, fue el número irracional pi = 3.14159…, estudiado y desarrollado por las culturas sumeria, china y egipcia. Esta constante, ubicada entre el número 3 y 19/6, representó para ellos un avance en la construcción de pirámides y tumbas con bases circulares, esféricas y cilíndricas; objetos a los que era necesario encontrarles su área o volumen.
La aparición del número pi y la raíz cuadrada de dos dio origen a una serie de hermanos y amigos números conocidos hoy por nosotros como raíz cuadrada de 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, etcétera, todos ellos irracionales.
Pero no sólo eso, en la lista de los irracionales apareció también la constante e = 2.71828… (base de los logaritmos naturales, localizada entre el número 2 y 11/4), reconocida y estudiada por el matemático escocés John Napier y divulgada después por el suizo Leonhard Euler, el matemático más prolífico de todos los tiempos.
El conjunto de todos los números arriba mencionados vino a completar la recta real. Es decir, la aparición de esos números fue necesaria para que la matemática tuviera una base sólida.
Hoy el estudiante no puede continuar sus estudios superiores sin pasar por los números reales, pues estos son la base para comprender el análisis matemático y otras ramas de las matemáticas.
No tiene sentido hablar de la continuidad de una recta o curva si falta uno de los conjuntos (racional o irracional). Si uno de ellos no existe, entonces se crea un movimiento discontinuo.
El resultado de Cantor sobre la irracionalidad de un número vino a enseñar al hombre que la naturaleza y el universo son más complejos de lo que parecen. Esa irracionalidad demostró al hombre que el tiempo es continuo, que el movimiento que realiza cualquier animal viviente en la naturaleza es continuo.
En síntesis, la irracionalidad del número, que nació de la experiencia del hombre y de la continuidad de la materia, vino al mismo tiempo a reforzar la concepción de la continuidad y la discontinuidad de la materia, y a comprender la constitución continua de la naturaleza y del universo.
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